MATEMATIK SUMBER / BABYLONIAN

MATEMATIK SUMBER / BABYLONIAN

 MATEMATIK SUMBER / BABYLONIAN

Sumerian Clay Cones

Sumer (kawasan Mesopotamia, zaman moden Iraq) adalah tempat kelahiran tulisan, roda, pertanian, gerbang, bajak, pengairan dan banyak inovasi lain, dan sering disebut sebagai Cradle of Civilization. Orang Sumeria mengembangkan sistem penulisan yang paling awal - sistem penulisan pictographic yang dikenali sebagai skrip cuneiform, menggunakan watak berbentuk baji tertulis pada tablet tanah liat bakar - dan ini bermakna kita sebenarnya mempunyai lebih banyak pengetahuan mengenai matematik Sumeria dan Babilonia purba daripada matematik Mesir awal . Malah, kita juga mempunyai apa yang kelihatan untuk latihan sekolah dalam masalah aritmetik dan geometri.

Seperti di Mesir , matematik Sumeria pada mulanya berkembang sebahagian besarnya sebagai tindak balas kepada keperluan birokrasi apabila tamadun mereka menetap dan membangunkan pertanian (mungkin seawal abad ke-6 BCE) untuk pengukuran plot tanah, cukai individu, dll. Selain itu, orang Sumeria dan Babilonia perlu menggambarkan jumlah yang agak besar kerana mereka cuba untuk mencoret perjalanan langit malam dan mengembangkan kalendar lunar mereka yang canggih.

Mereka mungkin orang pertama yang menyerahkan simbol kepada kumpulan objek dalam cubaan untuk membuat deskripsi nombor yang lebih besar lebih mudah. Mereka berpindah dari menggunakan token atau simbol yang berasingan untuk mewakili gandum gandum, balang minyak, dan lain-lain, untuk penggunaan lebih abstrak simbol untuk nombor tertentu apa-apa. Bermula seawal abad ke-4 BCE, mereka mula menggunakan kon tanah liat kecil untuk mewakili satu, bola tanah liat selama sepuluh, dan sebuah kerucut besar untuk enam puluh. Sepanjang milenium ketiga, benda-benda ini digantikan dengan kesamaan cuneiform sehingga angka-angka boleh ditulis dengan stylus yang sama yang digunakan untuk kata-kata dalam teks. Model utama abakus mungkin digunakan di Sumeria dari awal 2700 - 2300 BCE.

Numerals Babylon

Matematik Sumeria dan Babilonia didasarkan pada sistem seksual, atau dasar 60, numerik, yang boleh dikira secara fizikal menggunakan dua belas buku jari di satu tangan lima jari di sisi lain. Tidak seperti orang Mesir , Yunani dan Rom , angka Babilonia menggunakan sistem nilai tempat yang benar, di mana angka-angka yang ditulis di ruang sebelah kiri mewakili nilai yang lebih besar, seperti dalam sistem perpuluhan moden, walaupun sudah tentu menggunakan pangkalan 60 bukan asas 10. Oleh itu ,  dalam sistem Babilon mewakili 3,600 ditambah 60 ditambah 1, atau 3,661. Juga, untuk mewakili nombor 1 - 59 dalam setiap nilai tempat, dua simbol yang berbeza telah digunakan, satu simbol unit (  ) dan sepuluh simbol (  ) yang digabungkan dengan cara yang sama dengan sistem angka Rom yang biasa (contohnya 23 akan ditunjukkan sebagai  ). Oleh itu,  mewakili 60 ditambah 23, atau 83. Walau bagaimanapun, nombor 60 diwakili oleh simbol yang sama dengan nombor 1 dan, kerana mereka tidak mempunyai sama dengan titik perpuluhan, nilai tempat sebenar simbol sering harus disimpulkan dari konteks .

Ia telah diramalkan bahawa kemajuan Babilon dalam matematik mungkin difasilitasi oleh fakta bahawa 60 mempunyai banyak pembahagi (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60 - sebenarnya, 60 integer terkecil yang dapat dilihat oleh semua bilangan bulat dari 1 hingga 6), dan penggunaan moden pada masa 60 saat dalam satu minit, 60 minit dalam satu jam, dan 360 (60 x 6) darjah dalam bulatan, semua testimoni untuk sistem Babylon kuno. Ia adalah kerana sebab yang sama bahawa 12 (yang mempunyai faktor-faktor 1, 2, 3, 4 dan 6) telah begitu banyak popular secara sejarah (contohnya 12 bulan, 12 inci, 12 pence, 2 x 12 jam, dll).

Orang-orang Babilonia juga mengembangkan satu lagi konsep matematik revolusioner, yang lain yang tidak mempunyai orang Mesir , Yunani dan Rom , watak bulatan untuk sifar, walaupun simbolnya sebenarnya masih lebih banyak daripada pemegang tempat daripada bilangannya sendiri.

Kami mempunyai bukti tentang pembangunan sistem metrologi kompleks di Sumer dari kira-kira 3000 SM, dan pendaraban dan timbangan (pembahagian) jadual, jadual segiempat, akar persegi dan akar kiub, latihan geometri dan masalah pembahagian dari sekitar 2600 BCE dan seterusnya. Kemudian tablet Babylonian yang berasal dari sekitar 1800 hingga 1600 BCE meliputi topik yang berbeza-beza sebagai pecahan, algebra, kaedah untuk menyelesaikan linear, kuadrat dan bahkan beberapa persamaan kubik, dan perhitungan pasangan timbal balik yang tetap (pasangan nombor yang membiak bersama untuk memberi 60). Satu tablet Babilonia memberikan penghampiran kepada √2 tepat kepada lima tempat perpuluhan yang menakjubkan. Lain-lain menyenaraikan nombor segi empat hingga 59, kiub nombor sehingga 32 serta jadual faedah kompaun. Satu lagi memberikan anggaran untuk π dari 3 1/8 (3.125, anggaran yang munasabah dari nilai sebenar 3.1416).

Tablet Clay Babylon dari c. 2100 SM menunjukkan masalah mengenai kawasan yang tidak teratur

Idea nombor persegi dan persamaan kuadratik (di mana kuantiti yang tidak diketahui didarab dengan sendirinya, misalnya x 2 ) secara semulajadi timbul dalam konteks pengambilan tanah, dan tablet matematik Babilonia memberi kita bukti pertama penyelesaian persamaan kuadratik. Pendekatan Babilonia untuk menyelesaikannya biasanya berputar di sekeliling semacam permainan geometrik yang mengiris dan menyusun semula bentuk, walaupun penggunaan algebra dan persamaan kuadrat juga muncul. Sekurang-kurangnya beberapa contoh yang kita nampak menunjukkan masalah penyelesaian demi kepentingannya sendiri bukannya untuk menyelesaikan masalah praktikal konkrit.

Orang-orang Babylon menggunakan bentuk geometrik dalam bangunan dan reka bentuk mereka dan dalam dadu untuk permainan santai yang begitu popular dalam masyarakat mereka, seperti permainan backgammon kuno. Geometri mereka diperluaskan kepada pengiraan bidang segi empat, segi tiga dan trapezoid, serta jumlah bentuk mudah seperti batu bata dan silinder (walaupun tidak piramid).

Tablet tanah liat Plimpton 322 yang terkenal dan kontroversial, yang dipercayai tarikh dari sekitar 1800 SM, menunjukkan bahawa orang Babilonia mungkin telah mengetahui rahsia segitiga bersudut tepat (bahawa segi empat segi hipotenus sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lain ) berabad-abad sebelum Pythagoras Yunani . Tablet ini kelihatan menyenaraikan 15 segitiga Pythagoras yang sempurna dengan jumlah nombor keseluruhan, walaupun ada yang mendakwa bahawa mereka hanyalah latihan akademik, dan tidak menunjukkan manifestasi Pythagorean tiga kali ganda.

xxxxxx

 SUMERIAN/BABYLONIAN MATHEMATICS

Sumerian Clay Cones

Sumer (a region of Mesopotamia, modern-day Iraq) was the birthplace of writing, the wheel, agriculture, the arch, the plow, irrigation and many other innovations, and is often referred to as the Cradle of Civilization. The Sumerians developed the earliest known writing system - a pictographic writing system known as cuneiform script, using wedge-shaped characters inscribed on baked clay tablets - and this has meant that we actually have more knowledge of ancient Sumerian and Babylonian mathematics than of early Egyptian mathematics. Indeed, we even have what appear to school exercises in arithmetic and geometric problems.

As in Egypt, Sumerian mathematics initially developed largely as a response to bureaucratic needs when their civilization settled and developed agriculture (possibly as early as the 6th millennium BCE) for the measurement of plots of land, the taxation of individuals, etc. In addition, the Sumerians and Babylonians needed to describe quite large numbers as they attempted to chart the course of the night sky and develop their sophisticated lunar calendar.

They were perhaps the first people to assign symbols to groups of objects in an attempt to make the description of larger numbers easier. They moved from using separate tokens or symbols to represent sheaves of wheat, jars of oil, etc, to the more abstract use of a symbol for specific numbers of anything. Starting as early as the 4th millennium BCE, they began using a small clay cone to represent one, a clay ball for ten, and a large cone for sixty. Over the course of the third millennium, these objects were replaced by cuneiform equivalents so that numbers could be written with the same stylus that was being used for the words in the text. A rudimentary model of the abacus was probably in use in Sumeria from as early as 2700 - 2300 BCE.

Babylonian Numerals

Sumerian and Babylonian mathematics was based on a sexegesimal, or base 60, numeric system, which could be counted physically using the twelve knuckles on one hand the five fingers on the other hand. Unlike those of the Egyptians, Greeks and Romans, Babylonian numbers used a true place-value system, where digits written in the left column represented larger values, much as in the modern decimal system, although of course using base 60 not base 10. Thus,    in the Babylonian system represented 3,600 plus 60 plus 1, or 3,661. Also, to represent the numbers 1 - 59 within each place value, two distinct symbols were used, a unit symbol () and a ten symbol () which were combined in a similar way to the familiar system of Roman numerals (e.g. 23 would be shown as ). Thus,   represents 60 plus 23, or 83. However, the number 60 was represented by the same symbol as the number 1 and, because they lacked an equivalent of the decimal point, the actual place value of a symbol often had to be inferred from the context.

It has been conjectured that Babylonian advances in mathematics were probably facilitated by the fact that 60 has many divisors (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 and 60 - in fact, 60 is the smallest integer divisible by all integers from 1 to 6), and the continued modern-day usage of of 60 seconds in a minute, 60 minutes in an hour, and 360 (60 x 6) degrees in a circle, are all testaments to the ancient Babylonian system. It is for similar reasons that 12 (which has factors of 1, 2, 3, 4 and 6) has been such a popular multiple historically (e.g. 12 months, 12 inches, 12 pence, 2 x 12 hours, etc).

The Babylonians also developed another revolutionary mathematical concept, something else that the Egyptians, Greeks and Romans did not have, a circle character for zero, although its symbol was really still more of a placeholder than a number in its own right.

We have evidence of the development of a complex system of metrology in Sumer from about 3000 BCE, and multiplication and reciprocal (division) tables, tables of squares, square roots and cube roots, geometrical exercises and division problems from around 2600 BCE onwards. Later Babylonian tablets dating from about 1800 to 1600 BCE cover topics as varied as fractions, algebra, methods for solving linear, quadratic and even some cubic equations, and the calculation of regular reciprocal pairs (pairs of number which multiply together to give 60). One Babylonian tablet gives an approximation to √2 accurate to an astonishing five decimal places. Others list the squares of numbers up to 59, the cubes of numbers up to 32 as well as tables of compound interest. Yet another gives an estimate for π of 3 ¹⁄₈ (3.125, a reasonable approximation of the real value of 3.1416).

Babylonian Clay tablets from c. 2100 BCE showing a problem concerning the area of an irregular shape

The idea of square numbers and quadratic equations (where the unknown quantity is multiplied by itself, e.g. x²) naturally arose in the context of the meaurement of land, and Babylonian mathematical tablets give us the first ever evidence of the solution of quadratic equations. The Babylonian approach to solving them usually revolved around a kind of geometric game of slicing up and rearranging shapes, although the use of algebra and quadratic equations also appears. At least some of the examples we have appear to indicate problem-solving for its own sake rather than in order to resolve a concrete practical problem.

The Babylonians used geometric shapes in their buildings and design and in dice for the leisure games which were so popular in their society, such as the ancient game of backgammon. Their geometry extended to the calculation of the areas of rectangles, triangles and trapezoids, as well as the volumes of simple shapes such as bricks and cylinders (although not pyramids).

The famous and controversial Plimpton 322 clay tablet, believed to date from around 1800 BCE, suggests that the Babylonians may well have known the secret of right-angled triangles (that the square of the hypotenuse equals the sum of the square of the other two sides) many centuries before the Greek Pythagoras. The tablet appears to list 15 perfect Pythagorean triangles with whole number sides, although some claim that they were merely academic exercises, and not deliberate manifestations of Pythagorean triples.